Fundamentos

Introducción

Del éxito euclídeo a sus límites

El aprendizaje profundo transformó la inteligencia artificial, pero las arquitecturas responsables de ese éxito —convolucionales, recurrentes y de atención— se concibieron para datos en dominios euclídeos regulares: rejillas de píxeles, secuencias temporales, tablas de características. Al aplicar estas técnicas a moléculas, redes sociales o superficies 3D, la suposición de regularidad euclídea se reveló como una limitación conceptual, no solo técnica. Forzar un grafo a una matriz de adyacencia o una superficie a vóxeles descarta estructura y desperdicia parámetros.

Aprendizaje profundo geométrico

El aprendizaje profundo geométrico (GDL) invierte la relación tradicional entre datos y arquitectura: en lugar de forzar los datos a un modelo preexistente, es la estructura geométrica de los datos la que dicta la estructura del modelo. Al incorporar las simetrías directamente en la red, el GDL obtiene equivariancia, generalización robusta y eficiencia en parámetros.

Las cinco Ges

El libro se organiza en torno a cinco conceptos entrelazados —las 5 Ges:

• Geometry (geometría) — la estructura intrínseca del dominio (variedades de Riemann, espacios tangentes, curvatura).
• Groups (grupos) — las simetrías que preservan el problema (grupos de Lie, teoría de representaciones, principio de equivariancia).
• Graphs (grafos) — discretizaciones de dominios geométricos que capturan relaciones de vecindad (laplaciano del grafo, análisis espectral).
• Geodesics (geodésicas) — caminos óptimos que gobiernan la propagación de la información (métricas, mapa exponencial, transporte paralelo — el paso de mensajes en las GNN).
• Gauges (gauges) — invarianzas locales en la elección de marcos de coordenadas (fibrados principales y conexiones).

Una función $f$ es equivariante a un grupo $\mathfrak{G}$ que actúa sobre sus espacios de entrada y salida cuando

Qué persigue este libro

• Desarrollar un marco matemático riguroso para las 5 Ges, sobre teoría de grupos, geometría diferencial y análisis armónico.
• Unificar arquitecturas: mostrar formalmente cómo CNN, GNN y Transformers surgen como casos particulares del paso de mensajes equivariante.
• Extender la convolución y la atención a dominios no euclídeos.
• Conectar teoría y práctica a través de arquitecturas modernas representativas.

Hoja de ruta

Los capítulos siguientes van de los fundamentos a los modelos avanzados: redes neuronales artificiales y aproximación universal, el marco unificador del GDL y sus dos grandes familias —modelos convolucionales y de atención— antes de una síntesis final de resultados, limitaciones y problemas abiertos.