Modelos
Modelos convolucionales
La convolución como aplicación equivariante
La primera familia de arquitecturas geométricas generaliza la convolución. En una rejilla regular, la convolución es precisamente la aplicación lineal equivariante a las traslaciones —la razón de la eficacia de las CNN en imágenes. El capítulo construye una escalera de generalizaciones que sustituyen la traslación por grupos de simetría más ricos.
Análisis armónico y convoluciones espectrales
El análisis armónico es la herramienta unificadora: la transformada de Fourier, los armónicos esféricos y las descomposiciones de Chebyshev conectan las visiones espacial y espectral de la convolución y hacen computable la convolución de grupo.
Una escalera de generalizaciones
- Convoluciones de grupo (G-CNN) para grupos finitos — equivariancia a rotaciones y reflexiones.
- CNN orientables (steerable) para continuo, construidas a partir de representaciones irreducibles.
- CNN esféricas para , para señales sobre la esfera.
- Redes equivariantes / para nubes de puntos y moléculas en 3D.
- Convoluciones equivariantes gauge sobre variedades, con marcos locales y transporte paralelo.
- Convoluciones de Clifford / álgebra geométrica que actúan directamente sobre multivectores.
Universalidad equivariante
La escalera culmina en un teorema de universalidad equivariante: las CNN equivariantes pueden aproximar cualquier función continua equivariante —el análogo geométrico del resultado clásico de aproximación universal. Las extensiones topológicas vía laplacianos de Hodge llevan la convolución a complejos simpliciales y celulares, capturando relaciones de orden superior más allá de las aristas por pares.